Как самому придумывать формулы, уравнения, как прийти к этому?

ДВА ПРИМЕРА — ДВА ОТКРЫТИЯ.

ПРИМЕР1

В школе моя стихия была - геометрия. Как то в летние каникулы я задумался вычислить объем тора(бублика). Через несколько дней я самостоятельно подошёл к интегральному исчислению. Я дам вам общую схему - последовательность мыслей, а вы сами можете испытать восторг от создания формулы. Это не просто задачка - это переворот в сознании. Вы не просто выведете формулу - вы почувствуете эффект первооткрывателя интегрального исчисления! Но не смотря на простоту решения, довести решение до конца смогут только будущие математики - остальным данная задача никогда не откроет свои двери… Но если удача вам улыбнётся - вы можете испытать дикий восторг…!

1)Представьте тор на горизонтальном столе. Дан внутренний радиус и внешний радиус.

2)Представьте очень большое количество горизонтальных плоскостей, которые разбивают тор на плоские круглые полоски разной ширины, но одинаковой высоты, которая меньше высоты самого тонкого листа бумаги. 

3)Высота этих круглых полосок принимается за единицу измерения(это очень важно)

4)Заметим, что площадь поперечного сечения тора равна сумме 

S = s1+s2+s3+s4+…+sn, где s1,s2,s3…- площади поперечных сечений полосок. Но так как высота каждой полоски равна 1, то площадь практически равна S = L1+L2+L3+…Ln, где L1,L2,L3…Ln- ширина первой полоски, ширина второй полоски…ширина n-ой полоски!!!

5)Зная внутренний радиус  и внешний радиус тора, можем вычислить средний его радиус R, который для всех полосок один и тот же.

6)Заметим, что объём каждой круглой полоски равен её площади!!!

7)А теперь осталось самое интересное - возможно придётся подумать несколько дней, но это стоит того… Особое внимание обращайте на восклицательные знаки. Длина окружности = 2Pi*R

Вообще, мне казалось, что формулу вывести очень трудно, почти невозможно. И лучше вообще об этом не думать. Формула это краткая запись закономерности, поэтому в первую очередь ищем закономерности. А формула - это следствие.

ПРИМЕР 2

Одной из первых моих увлечений была задача о 4-х красках. Здесь я и получил формулу максимального количества границ и вершин, если число стран на карте равно "С". 

1)Есть на всём земном шаре всего 3 страны. Каждая страна граничит с двумя странами. Но так как граница общая для обеих стран, то имеем всего три границы, которые пересекаются в двух вершинах. Моря и океаны принимаем как сушу.

2)Имеем: С= 3; Г = 3; В = 2(С-число стран, Г-число границ, В-число вершин)

3)Далее с помощью одной границы прибавляем одну страну. При этом максимальное количество вершин увеличивается на 2(когда новая граница пересекает другие границы, но не упирается в существующие вершины).

4)Заметим, что каждая новая граница делит существующие границы на две части. То есть при каждом шаге: С+1; Г+3; В+2.

5)Закономерности известны! Дело за вами. 

Лично мне надо было доказать, что существует хотя бы одна страна, которая граничит меньше чем с шестью странами. И я доказал. Но спустя годы узнал о формуле Эйлера для многогранников, которая практически эквивалентна моим. Но Эйлер получил более элегантную формулу. Так что у вас есть всё необходимое, чтобы вывести формулу Эйлера и почувствовать себя гением математики… Дерзайте!

Я Вам подскажу как придумывать сложные  уравнения, которые имеют по крайней мере одно целочисленное решение. Итак, квадратное, пусть ответом будет например 7; 5*7^2-12*7=5*49-84=161. Тогда уравнение будет выглядеть так: 5*x^2-12x-161=0,

Аналогично, кубческие, 4 И более степеней. 

Экзотика может быть неограничена 

X^X-(X-1)^(X-1)=88 206,007471665