Каковы самые странные научные парадоксы, которые математически верны, но противоречат интуиции?

Всё зависит от критериев "странности". Например, на первый взгляд нам может показаться, что не бывает таких объёмных геометрических фигур, у которых мера площади "несопоставима больше" с мерой объёма. То есть, не существует такой ёмкости, для которой в случае заполнения её краской, этой краски может не хватить на окрашивание всей её площади. 

Если вы, например, заполните краской внутренность гексаэдра 
(куба), вам этой краски точно хватит, чтобы окрасить его внешнюю площадь. 

Если вы полностью зальёте краской внутренность сферы, то вам этой краски точно хватит, чтобы покрасить её внешнюю поверхность. 

Ну, вы поняли идею. 

Так вот, существует объёмная фигура, для которой это не работает. Это фигура, полученная через вращение положительной части графика f(x) = 1/x вокруг оси абсцисс, в популярной литературе также называемая "трубой архангела Гавриила". Объём такой фигуры равен π , а вот внешняя площадь такой фигуры стремится к бесконечности. 

С этим "мнимым парадоксом" связан также обратный (и также мнимый) "парадокс маляра", утверждающий, что, наоборот, бесконечную площадь можно окрасить бесконечным множеством краски. 

Интуиция здесь ошибается в том, что мы не учитываем толщину слоя идеальной краски, так как в реальном мире толщина любого напыления для нас ограничена размерами в одну молекулу (более тонким слоем физически не получится окрасить, если только молекула вещества не состоит из одного атома). 

Это та самая ситуация, где практическая "производственная интуиция", формирующая наше представление о повседневном, не вполне коррелирует с идеальной математической моделью, что создаёт "интуитивный" (но не логический!) или "мнимый" парадокс. А "труба Гавриила" (она же "рог Гавриила") психологически начинает восприниматься как "абсолютный объект", не имеющий адекватного языка описания, что можно приводить к "обсессивности" восприятия. 

Как выходить из таких психологически некомфортных ситуаций? Прежде всего, не паниковать и прибегнуть к принципу радикального сомнения Декарта — в том числе, к сомнению в собственных практических интуициях. 

И, всё-таки, я слукавил. То есть, обманул Вас. Вы, очевидно, просили "истинный парадокс", который именно что логический. А многогрешный и окаянный аз Вам этого парадокса не предоставил. 

Ад мне за это и вечная погибель! 

Для меня первым оказался 0!, - интуитивно 0, а строго математически 1.

Не знаю, противоречат ли интуиции несчетные множества, но следующая теорема парадоксальна: теория множеств имеет счетную модель.

Сюда тесно примыкают теоремы конструктивной математики:

и т.д.

Недавно готовил лекцию по алгоритмам социальных сетей. Наткнулся на интересную теорему «о дружбе». В большинстве случаев количество подписчиков у тех, кто на тебя подписан больше чем у тебя. Неожиданно ведь не правда ли ?

Магнитное поле — сплошное жульничество, не потенциальное. Если стоишь — оно есть, если побежишь со скоростью электрического тока — пропадет. И, вообще кто вам сказал, что сумма углов треугольника 180 градусов?

Для меня это прецессия орбиты Меркурия. Когда я впервые узнал о ней, мне показалось, что такого просто не бывает, тем более на настолько "близком" расстоянии к Земле. Да и сейчас я не настолько разбираюсь в ОТО, чтобы осознанно говорить о том, что понимаю это явление на уровне интуиции.