У спрашивающего странные представления о теории. Не бывает таких научных теорий, в которых "всё возможно". Да, в псевдонаучных теориях так бывает, но теория действительных чисел вполне научна.
Существует определённый набор свойств, которыми обладают арифметические операции в множестве действительных чисел. Они называются аксиомами поля, и все алгебраические системы, удовлетворяющие этим аксиомам, называются полями. Разных полей очень много, и поле действительных чисел — одно из них. Из этих аксиом, в частности, следует, что деление на ноль невозможно определить так, чтобы эти аксиомы выполнялись. И список аксиом, и доказательство невозможности деления на ноль можно посмотреть здесь: Кольца, тела, поля.
"Что будет, если разделить на ноль?" Вы ожидаете, что мир рухнет?
Вообще говоря, если кому-то очень хочется делить на ноль — ради бога. Определяйте частное как хотите и делите себе на здоровье. Но какие-то аксиомы поля обязательно нарушатся. Это приведёт к проблемам при преобразованиях алгебраических выражений и к большим неудобствам. Если Вы вводите деление на ноль просто для того, "чтобы было", то это касается только Вас лично. Если Вы хотите, чтобы это деление на ноль было общеупотребительным, то нужно привести примеры очень важных для человечества задач, которые без деления на ноль никак не решаются, а с помощью конкретно вашего способа деления успешно решаются, чтобы польза перевесила проблемы, возникшие из-за отказа от аксиом поля.
Иногда предлагают считать, что частное от деления числа a≠0 на ноль "равно бесконечности". Тут надо иметь в виду, что бесконечность — не число, поэтому речь идёт о расширении поля действительных чисел бесконечными элементами.
В теории пределов множество действительных чисел расширяется бесконечными элементами двумя разными способами. При первом способе добавляется один элемент, обозначаемый "∞" и называемый проективной бесконечностью; представьте себе, что числовую прямую согнули в окружность и концы соединили точкой ∞. При втором способе добавляются два элемента, обозначаемые "+∞" и "-∞" и называемые аффинными бесконечностями; получается отрезок, концы которого — точки +∞ и -∞.
Все три "бесконечности" — не числа, и арифметические операции продолжаются на них только частично, так что аксиомы поля выполняются не полностью. Мы можем написать, например, что 1/0=∞ или 2/0=∞, но не можем написать, что ∞∙0=1 или ∞∙0=2, потому что результат умножения должен быть однозначным (в теории пределов произведение ∞∙0 остаётся не определённым, и его надо определять заново каждый раз, когда оно встречается, и даже существуют "методы раскрытия неопределённостей").
Математики пошли гораздо дальше. Существует так называемый нестандартный анализ, в котором множество действительных чисел пополняется большим количеством бесконечно малых и бесконечно больших чисел, причём, настолько хитро, что все аксиомы поля выполняются. Естественно, несмотря на "кучу" бесконечных чисел, делить на ноль всё равно нельзя. Именно из-за того, что все аксиомы поля выполняются в полном объёме.
Можно если очень хочется.
Ноль - это ничего. Сколько раз по ничего в вас? Сколько раз по ничего в любом предмете? Может быть, бесконечное число раз по ничего. А может быть один раз ничего. Разницы никакой. Это бессмыслица.
Если бы "0" было бы ничем, о нем бы не говорили и не писали. Значит что-то есть, больше, чем совсем ничего.
Математика построена на логике. Каждое действие имеет возможное отображение в реальности. В нашей реальности невозможно взять несколько честей чего-либо, чтобы получилось ничего - у нас действует закон сохранения энергии и пропасть она не может. Поэтому делить на нуль не то что нельзя, а просто такого действия не существует.