Нынешние жилища не предназначены для жизни в очень холодных условиях, поэтому без подземных убежищ, обогреваемых мощными ТЭС, не выжить. Нужно ещё обеспечить производство пищи в этих убежищах — хорошим вариантом являются насекомые, грибы и водоросли, поскольку они максимально производительны и неприхотливы. И убежища должны быть герметичными, поскольку вся атмосфера планеты перейдёт в твердое состояние и будет почти полный вакуум.
Сколько убежищ будет подготовлено, столько человек и выживет. Но поскольку Солнце даже теоретически иссезнуть не может, то никто к подобному сценарию готовиться не будет.
Солнце не погаснет, потому что оно -точка концентрации СВЕТА сознания и разума. Пока будет жив хоть один человек, будет светить и Солнце. Так что беспокоится не о чем.
На эту тему есть замечательный фантастический роман Бегство Земли Франсиса Корсака. Советую.
P.S. Удивительно то, что этот французский автор, бывший очень популярным в СССР на английский язык не переводился и соответственно англоязычным читателям почти не известен.