На самом деле, сюжетно игры эти никак не связаны. Вы можете смело пропускать все ранее вышедшие части, и начинать играть сразу с четвёртой части. Сложностей с пониманием происходящего у вас не возникнет. Возможно, мимо вас пройдут кое-какие пасхалки и отсылки, но это будет не критично, на восприятие игры это никак не повлияет.
Но если вас интересует, почему серия так популярна, то стоит ознакомиться с предшественниками.
Fallout 2 расширила и углубила то, что не получилось в Fallout 1 и стала шедевром.
Fallout: New Vegas расширил и углубил то, что не получилось в Fallout 3.
Остальные версии хоть и хороши, но их можно пропустить.
Если вы нормально относитесь к двухмерной графике - то с Fallout и Fallout 2, конечно же. Если же она вызывает у вас отторжение - то с Fallout New Vegas. Эти три части лучшие из всех пяти игр серии согласно не только моему личному мнению, но и мнению большинства игроков.