И есть ли какие-то общие правила, которые действуют в подобных ситуациях? Например, для других профессий, название которых состоит из двух английских слов: гейм-дизайнер, фуд-фотограф, фэшн-стилист?
Чёткого правила пока не сформировалось, но обычно в русском все подобные названия пишутся через дефис - достаточно посмотреть на такие примеры как Нью-Йорк (New York) или хот-дог (hot dog).
Исключение составляют только некоторые слова, оканчивающиеся на гласный типа видео-, аудио-, медиа- - они пока ещё пишутся слитно: медиаменеджер.
Так что конкретно этот случай более правильно писать как "продакт-менеджер" (ну и, соответственно, гейм-дизайнер, фуд-фетишист и так далее)
Спасибо, Игорь!