Правильно писать "продакт-менеджер", варианты написания "продакт менеджер" допускаются как калька английского, но русский вариант написания продакт-менеджер.
Как ранее уже указали на правила русского языка предыдущие эксперты, корректно: "продуктовый менеджер" или "продакт-менеджер".
В английском "product manager" существительное "product" - атрибутивное существительное и выполняет роль определения существительного "manager".
В русском языке мы из существительного образовываем прилагательное с помощью правил словообразования (меняя оконсание, добавляя суффикс и т.п.), а в английском существительные не меняют своей формы, а ставятся перед другим существительным.