Что самое важное должен обеспечить родитель, чтобы его дети выросли самостоятельными и психически здоровыми?

Мне кажется, это "самое важное" - ВРЕМЯ. Своё время, тот самый невосполняемый ресурс, которого всегда не хватает (на всякий пожарный случай уточняю, что "свое время" не означает "всё свое время"). И это время лучше всего употребить на то, чтобы разговаривать со своим ребенком.

Ребенок учится у родителей. Многому он учится автоматически, просто наблюдая за ними (помните: "Хочешь воспитать ребенка, воспитай сначала себя"?). И очень многому - получая от них сконцентрированные в их рассказах жизненный опыт и семейную историю.

Если нет общения или оно полностью заменено на постоянные развивашки, бегание по кружкам, студиям, секциям, мастер-классам, то остается только упомянутая выше "автоматика". А здесь может получиться по-всякому.

Относительно того, что написали другие авторы - полностью согласна и присоединяюсь. Ребенок чувствует родительскую любовь и заботу даже тогда, когда у родителей на самом деле совсем нет времени для общения с ним. Но в таком случае вероятность того, что, повзрослев, ребенок в значительной степени ощутит этот дефицит, может оказаться высокой.