Что самое важное должен обеспечить родитель, чтобы его дети выросли самостоятельными и психически здоровыми?

Думаю, здесь не будет единого определения, некой «абсолютной истины», как и в отношении многих вещей из категории «самое-самое». Нет чего-то одного, как сформулировано в вопросе, самого важного. Здесь важно всё. И пунктов в этом списке может получиться огромное множество.

Но, отвечая на поставленный вопрос, я бы озвучила следующее:

Необходимо понимать, что ребёнок является личностью с собственными мыслями, желаниями, стремлениями и границами, и всецело принимать это, не пытаясь подогнать другого человека под свои идеалы. Да, порой родители выкраивают наперёд некий образ своего «идеального» ребёнка и, следовательно, ожидают от него соответствующего поведения, а позже разочаровываются и предъявляют претензии человеку, который ни в чём не виноват, он развивается так, как свойственно именно ему. И нужно лишь помогать, необходимо поддерживать его на этом пути. Ведь ребёнок рождается и живёт не для удовлетворения и оправдания желаний и ожиданий родителей. 

Если же Вы чувствуете эмоциональную истощённость и не представляете, каким образом вообще возможно осуществить то, о чём говорилось выше, то следует обратить внимание на собственное состояние и , вероятнее всего, получить консультацию специалиста.

Если самое важное выбирать, то: правильная иерархия (ребёнок не центр семьи);
уважение ко всем членам семьи;
родители психологически созревшие (психологически взрослые, а не по паспорту только).

Вот, пожалуй, это минимальные необходимые условия, в которых ребёнок сможет развиваться, а не выживать.
Соответственно, вырастет психически здоровым)

задача ребенка увидеть хороший пример родителей и повторить его по своему. родителям достаточно быть самостоятельными и поощрять то же самое у ребенка, и следить за своим психическим здоровьем.

короче, начните с себя. все дети счастливы и здоровы, когда счастливы и здоровы их родители.