Обычно предлагается метод аналогий - идя от прямой к плоскости, затем от плоскости к пространству - мы каждый раз "протягиваем" объект "базовой" мерности N через следующую (ортогональную к исходной!) дополнительную мерность N+1. Протягивая квадрат через пространство - мы этим квадратом "заметаем" полнотелый куб. На этапе перехода из третьего измерения в четвертое мы натыкаемся на визуальное отсутствие следующей ортогональности - нам кажется, что ее вектор некуда направить - поскольку этот четвертый координатный вектор не может "выскочить" в нашем представлении за пределы наблюдаемого нами "объема" трехмерья. Один из вариантов - представить, что полнотелый трехмерный куб (с единичной длины гранью!) начинает расти в размерах (по всем трем координатам) - он распухает и в итоге получается куб с двойной длины гранью. И вот этот полнотелый трехмерный куб - распухая в объеме - заметает то, что вполне можно назвать четырехмерным (динамическим...) аналогом куба в 4D. Насколько мне известно - именно так очень примитивно в космологии поясняется инфляция пространства Вселенной. Материя сама не распухает - а распухает само пространство (каркас) трехмерья - на которое "натянута" материя Вселенной. Поскольку мы как наблюдатель - видим расширение Вселенной как некий процесс во Времени - то с определенной долей осторожности можно и Время считать четвертой координатой реального Вселенского процесса. Но в реальности - распухание происходит в дополнительном - четвертом - измерении. Физики-космологи применяют понятие бран - многомерных "листов", к одной из которых возможно "прикреплено" наше трехмерье. В теории струн несколько другое построение - там дополнительные мерности "скручены" в то, что можно назвать кольцами - 6-тимерными пространствами Калаби-Яу - в которых колеблятся базовые элементы реальности - струны. Представить эти внутренние измерения - можно если взглянуть например на электрический провод на столбе - издали нам кажется что провод одномерный (аналог прямой) - но на самом деле провод имеет некую толщину и вокруг провода скажем по кругу ползет еле заметный муравей - которого мы издалека и не видим. Но он есть - и крутится он в условно дополнительном направлении. Конечно это очень слабая аналогия. Но возможно, что на очень малых масштабах пространство и материя "свернуты" в очень малые "гранулы" реальности - именно там возможно и определяются свойства и пространства и времени и материи. Вибрации струн задают свойства вещества.
Мы можем представить четырехмерное пространство, тогда (и только тогда), если в трехмерное введем понятие ВРЕМЕНИ!!
Если рассмотреть отдельное подпространство многочленов степени n
В четырёхмерном мы благополучно живём и процветаем. Дальше всё зависит от гибкости мышления. Кажется Гильберт сказал о своём ученике. ,,Он стал поэтом. Для математика ему не хватило воображения".
В Природе имеют место все виды прстранств, от одномерных до многомерных. Другое дело, как эти свойства Материи сделать наглядными, визуализировать, использовать в качестве доказательств в познавательном процессе?